გრავიტაციის აღსაწერად დღეს იქმნება უამრავი მოდელი. ყველა მოდელს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარე. ზოგიც მოდელი გადის ექსპერიმენტულ ტესტებსაც, თუმცა სრულყოფილი თეორია, რომელიც დღევანდელ ჩვენ ყველა მოთხოვნას დააკმაყოფილებდა არ არსებობს. მიიჩნევა, რომ კლასიკურ დონეზე გრავიტაცია აღიწერება ფარდობითობის ზოგადი თეორიით, რომლის ძირითადი განტოლებებიც არის აიშტაინის განტოლებები. მიუხედავად ტრიუმფისა კლასიკურ ტესტებთან მიმართებაში, აინშტაინის თეორია სრულ ფიასკოს განიცდის დაკვანტვის დროს. გარდა ამისა თეორია არის გადაუნომრვადი, შეუძლებელია განშლადობების გაქრობა. ასევე ფაქტიურად შეუძლებელია ენერგიის ნულოვანი დონის განსაზღვრა. ყოველივე ეს შინაგანი წინააღდეგობები გვაფიქრებინებს, რომ არსებობს ფუნდამენტური თეორია (მაგალიტად სიმების მოდელი), რომლის ეფექტური თეორიაც უნდა იყოს ფარდობითობის ზოგადი თეორია. ამჟამად ეს მხოლოდ შორეული პერსპექტივაა, დღევანდელი ამოცანები კი უკვე მოითხოვს გრავიტაციის კვანტურ დონეზე განხილვას. არსებობს უამრავი მოდელი, რომელიც კლასიკაში არც ისე კარგ შედეგებს იძლევა, მაგრამ კვანტურ გრავიტაციაზე შეიძლება გაკვეული წამოდგენა მოგვცეს. ასევე არსებობს მოდელები, რომლებშიც დასაკვანტატ იყენებენ აიშტაინის განტოლებების მიახლოებას, მაგალითად პაული-ფირცის გრავიტაცია, რომელსაც კლასიკურ დონეზეც განვიხილავთ.

მოტივაცია

როგორც უკვე აღვნიშნეთ არსებობს უამრავი მოტივაცია რათა უარი ვთქვათ ფარდობითობის ზოგად თეორიაზე და ვეძებოთ ალტერნატიული მოდელი, განვიხილოთ რამდენიმე მადგანი დეტალურად:

1) ფარდობითობის სპეციალური თეორია

ფარდობითობის სპეციალური თეორია ექსპერიმენტზე შემოწმებული და მარტივი მათემატიკური აპარატით აღჭურვილი მოდელია, მასში არ არსებობს გაუკვეველი საკითხები. ის ყოველთვის წამოდგენს ახალი თეორიებს მყარ საფუძველს და მასზე აშენებული მოდელები თვითშეთახმებული გამოდის, თუ თავად მოდელებს არ აქვს პრობლემები. ფარდობითობის სპეც თეორიაში ნაწილაკის ცნება ადვილად შემოდის, გვაძლევს ექსპერიმენტზე გაზომილ ცნობილ

$E^2-p^2=m^2$

დისპერსიას. დღეს, იმ შკალებზე რა შკალებიც თაანმედროვე ამაჩქარებლებითვისაც მიღწევადია (13.6 TeV), ფარდობითობის სპეც თეორია შეგვიძლია ჩავთვალოთ შეუცვლელ ალტერნატივად. მასში არ არსებობს სივრცე-დროის გამოუყოფლობის პრობლემა, რაც ფარდობითობის ზოგად თეორიას ახასიათებს, სინათლის კონუსებუით სივრცე-დრო იყოფა სივრცის და დროის მაგვარ არეებად.

2) ველის კვანტური თეორია

ფარდობითობის სპეციალურ თეორიაზე შენდება ველის თეორია, რომლის კერძო მაგალითიცაა მაქსველის ელექტროდინამიკა. ექსპერიმენტზე კლასიკური ველის თეორიები ადვილად გადიან შემოწმებას. ფარდობითობის სპეც თეორიაზე აშენებულ ველის კვანტური თეორიის დადებითი მხარეა, რომ შესაძლებელია კვანტური ნაწილაკების განმარტება, როგორც ბტყელ სივრცეში მოძრავი ბტყელი ტალღების. კარგად მუშაობს ადიაბატობის ჰიპოთეზა. კვანტური ველის თეორიების დიდი ნაწილი გადანორმვადია. თუ ფარდობითობის თეორიას ღრმად გავიაზრებთ შემოვიტანთ ყალიბურ ინვარიანტობას, ავტომატურად მივიღებთ კარგ ველის თეორიას. მაღალ ენერგიებზე კი (13.6 TeV) ნაწილაკის ცნება ნარჩუნდება, რაც ფარდობითობის სპეც თეორიაზე აგებული ველის თეორიების სისწორეზე მეტყველებს.

3) სტანდარტული მოდელი

ფარდობითობის სპეც თეორიაზე და ველის კვანტურ თეორიაზე დაფუძვნებული თეორიაა, რომელიც აღმოჩენილ ყველა ნაწილაკის ურთირთქმედებას აღწერს. დღევანდელ ექსპერიმენტებზე არცერთი დათვლილი პროცესი არ იძლევა გადახვევას სტდანდარტული მოდელის წინასწარმეტყველებიდან. უკვე წლებია სხვა მოდელებისგან განსხვავებით სტანდარტული მოდელი პოზიციებს არ თმობს. დღეს ყველა გაფანტვის პროცესი ჯდება სტანდარტული მოდელის სქემებში. სტანდარტული მოდელი მხოლოდ ასტროფიზიკულ მონაცემებს ვერ ხსნის და არსებობს მისი გაფართოებები, რომლებიც ამაჩქარებლებზე არ დაიკვირვება. სტანდარტული მოდელის კიდევ ერთი პრობლემაა ელეგანტურობა, მისი სრული ლაგრანჟიანის დაწერას რამდენიმე გვერდი სჭირდება. ასევე არსებობენ გარკვეული შინაგანი სიძნელეები, რომლებიც ხელოვნურად გადაილახება. თუმცა დღეს არ გვაქვს ურთირთქმედების აღწერის სხვა მოდელის მაგალითი. ამიტომ ცდილობენ გრავიტაციაც დაამსგავსონ სტანდარტული მოდელის სქემას.

4) ექვივალენტობის პრინციპი

ფარდობითობის ზოგადი თეორია დაფუძნებულია ექვივალენტობის პრინციპზე, რომელიც ამბობს რომ გეომეტრია და ენერგია ექვივალენტურია. ერთის მხრივ შეგვიძლია განვიხილოთ ენერგია გეომეტრიის ცვლილების წყაროდ, მეორეს მხრივ მოცემული გეომეტრიისთვის ყოველთვის არსებობს რაღაც წყარო. ზოგად ფარდობითობის თეორიაში აფინურ ბმად გამოიყენება კრისტოფელის სიმბოლოები, რომლების გაქრობაც კოოდინატების გადაქმნით შეიძლება, რაც ნიშნავს, რომ გეომეტრიის არჩევა ყოველთვის შეიძლება ლოკალურად. სადანაც ვიღებთ, რომ უბრალო კოოდინატების შეცვლით შესაძლოა გავაქროთ მატერია. ითვლება, რომ მოცემული პრინციპი ბოლომდე გაკვეული არ არის, ზოგ მოდელებში იღებენ აიშტაინის განტოლებებს და ბმების დადებით აიშტაინის ექვივალენტობის პრინციპის პირობებს ასუსტებენ, მაგ. სუსტ ექვივალენტობის პრინციპამდე. ასევე ზოგად საკორდინატო გადაქმენებს ზღუვავენ ფიზიკური მოსაზრებებით. თუმცა ექსპერიმენტზე დღეს ძლიერი ექვივალენტობის პრინციპი დაკვირვებულია და სხვადასხვა დაგროვილი ექსპერიმენტული მონაცემების ზოგადი კოვარიანტობაზე უკეთესი ახსნა არ არსებობს. ამიტომ, ერთის მხრივ გვაქვს კარგი ფიზიკური პრინციპები, მეორეს მხრივ იგი რთულად გასაგებია და რიგ შემთვევაში გამოთვლებს შეუძლებელს ხდის და უკეთესია უარი ვთქვათ.

გრავიტონი

ნიუტონის გრავიტაციაში ე.წ გრავიტაციულ პოტენციალს აქვს სახე:

$\Phi =-G \int \frac{1}{R} \rho (R,r) dr, ~~~ (1)$

სადაც $G$ გრავიტაციული კონსტანტაა. თავიდანვე დაისვა კითხვა როგორ ექციათ მოცემული თეორია ლორენც-კოვარიანტულად. ჯერ კიდევ ფარდობითობის ზოგადი თეორიის შექმნამდე შეიქმნა მოდელები სადაც შემოყვანილი იყო ლორენც ინვარიანტული ველი, რომელიც ფარდობითობის სპეც თეორიის ნიუტონისეულ ზღვარში ($c \to \inf $) იძლეოდა სწორ პოტენციალს. ასეთი მოდელები დაიწერა უამრავი, შეუძლებელი იყო გარჩევა რომელია სწორი. აქედან გამომდინარე საჭიროა შემუშავდეს ფუნდამენტური პრინციპები, რომლებიც მოგვცემს საშუალებას მივიღოთ გრავიტაციის თეორია, რომელიც იქნება ფარდობითობის სპეც თეორიაზე აგებული ველის თეორია და შესაძლოა კვანტურ მიახლოებაშიც გამოდგეს. ჩამოყვეთ ძირითად პრინციპებს რაც საჭიროა ასეთი თეორიის ასაგებად. ყველა პრინციპი ცხადია ექსპერიმენტულად მოტივირებულია.

1) შორსქმედება

გრავიტაცია უნდა იყოს შორს ქმედი ველი, რადგან შეორეული ვარკლავების გრავიტაციასაც კი გძნობს მაგალითად მეტეორიტების მტვერი. ველის თეორიის ენაზე ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია ასეთი თეორია იყოს მასიური. მასიურობის შემთვევაში მასის შებრუნებულ შკალის იქით ურთიერთქმედება ვერ გავრცელდებოდა (მაგ. იუკავას პოტენციალი სწორედ $\pi$ მეზონების მასიურობის შედეგია). ამიტომ თუ გრავიტაცია მასიურია იმდენად უმნიშვნელო მასა აქვს რო შეგვიძლია უგულვებელყოთ (მოქმედების რადიუსი გალაქტიკების მასშტაბი).

2) ინტენსიურობა

კლასიკურ ზღვარში გრავიტაცია არის ინტენსიური პოტენციური ველი. ეს ნიშნავს, რომ რამდენიმე ერთნაირი კვანტური რიცხვის ნაწილაკი შეიძლება არსებობდეს, რაც მიუთითებს, რომ გრავიტაცია ბოზონური ველია. სპინი აუცილებლად მთელია.

3) უნივერსალურობა

გრავიტაცია ელექტრომაგნიტური ურთითქმედებისგან განსხვავებით უნივერსალურია, რაც ნიშნავს, რომ ის ურთიერთქმედებს ნებიმიერ ველთან, არ სჭირდება მუხტი. ასეთი ველის თეორია მხოლოდ ლუწ სპინიანია.

4) სინათლის გადახრა

ცდა აჩვენებს რომ გრავიტაცია გადახრის ფოტონს. აიშტაინის განტოლებების ანალიზი კი გვიჩვენებს, რომ გრავიტაციის ურთირქმედებს ენერგია-იმპულსის ტენზორთან. თუ გავიხსენებთ, რომ ფოტონური ველის ენერგია-იმპულსის ტენზორის კვალი ნულია ($T_\mu^\mu=0$), გრავიტაცია შეუძლებელია იყოს უსპინო ველი. ხოლო თუ გავიხსენებთ, რომ 2 სპინზე მაღალი სპინის მქონე ველებს მხოლოდ შინაგანად წინააღდეგობრივი მოდელები იძლევა, გრავიტაცია უნდა განვიხილოთ სპინი-2 ველად. ანუ ტენზორული ველი, რომელიც 4-განზომილებიან მინკოვსკის სივრცეში იქნება: $16 = 9 + 1 + 6$-კომპონენტიანი ველი (9 სპინ-2 კომპონენტი, 1 უსპინო და 6 სპინი-1 კომპონენტი).

ასეთი თეორიის ასაგებად შესაძლოა დავწეროთ ზოგადი ლაგრანჟიანი სპინ-2 ნაწილაკითვის ან გავაწრფივოთ ფარდობითობის ზოგადი თეორია და განვიხილოთ ბტყელ სივრცეში. განვიხილოთ ორივე მეთოდი.

ფარდობითობის თეორიის მიახლოება

ფარდობითობის თეორია აღიწერება, ჰილბერთ აიშტაინის ქმედებით:

$S=\int dx^4 \sqrt{-g}(L_{m}+\kappa R),~~~ (2)$

სადაც $L_m$ მატერიის ლაგრანჟიანია, ხოლო $R$ გეომეტრიული სიმრუდე. $g_{\mu\nu}$ მეტრიკული ტენზორით ვარირებით ვიღებთ აიშტაინის განტოლებებს:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=T_{\mu\nu}. ~~~   (3)$

მიახლოებაში როდესაც მეტრიკულ ტენზორს ჩავთვლით ბრტყლად და სიმრუდეს შეშფოთებად:

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+\epsilon h_{\mu\nu}. ~~~ (4)$

შეშფოთების პირველ რიგში მივიღებთ განტოლებებს:

$\frac{1}{2}(\partial^2h_{\mu\nu}+\partial_{\mu} \partial_{\nu} h -\partial_{\mu}\partial_{\rho}h_{\nu}^{\rho}-\partial_{\nu}\partial_{\rho}h_{\mu}^{\rho})=-\kappa(\tau_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\tau), ~~~ (5)$

სადაც $\tau$ ენერგია-იმპულსის ტენზორია. განტოლებებს გაუჩნდათ ბიანკის იგივეობების გარდა დამატებითი გადაქმნის თავისუფლება (ყალიბრული)

$h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu}+\partial_{\nu} A_{\mu}+\partial_{\mu} A_{\nu}$.

მოცემული განტოლებების აღწერით შესაძლებელია ველის დაკვანტვა, გრავიტონის შემოტანა და ზოგიერთი კლასიკური მოვლენის ახსნა. ახლა განვიხილოთ იგივე განტოლებების სხვა მეთოდით მიღება.

ყალიბური პრინციპი

ლაგრანჟიანების სიმეტრიის ლოკალურობის მოთხოვნით შემოდის მაკონპენსირებელი ველები (ყალიბრული), რომელთა გარდაქმნებიც აკომპენსირებენ ლოკალური გადაქმენებით გაჩენილ წევრებს. განვიხილოთ სიმარტივისთვის კომპლექსური სკალარული ველის თავისუფალი ლაგრანჟიანი:
$L=\partial\phi^* \partial\phi -m^2\phi^*\phi, ~~~ (6)$
სადაც წამოებულების ქვეშ 4-აჯამვა იგულისხმება. ცხადია გლობალური გადაქმენების მიმართ:
$\phi \to e^{i \theta} \phi$
მოცემული ლაგრანჟიანი ინვარიანტულია, მაგრამ რა მოხდება თუ $\theta=\theta(x)$? ცხადია ასეთი გადაქმენების მიმართ ინვარიანტულობა დაიღვევა. მაგრამ ასეთი ინვარიატულობა შეიძლება აღსდგეს თუ შემოვიყვანათ მაყალიბრებელ ველს $A$. წამოებულის შეცვლით $\partial \to \partial -iA$ და მოვითხოვთ, რომ $A \to A-\partial \theta$, სიმეტრია აღსდგება. $A$ ველის ლაგრანჟიანის კინეტიკური ნაწილი ასევე უნდა შედგეს ყალიბრულად ინვარიანტულად. (6)-დან ჩანს, რომ დენი ინახება ($J = \phi^*\partial\phi - \phi\partial\phi^*$) (იგულისხმება ლორენც 4-ინდექსი) და ყალიბრული ველიც სწორედ ამ კონსტრუქციასთან ურთიერთქმედებს. გლობალური ყალობრული გადაქმნები დაკავშირებულია დენის შენახვასთან, რომელიც სამართლიანია ლოკალური გადაქმენების დროსაც. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მოძრაობის განტოლებას ყალიბური ველითვის უნდა ქონდეს სახე:
$\tau_{\mu}=J_{\mu}, ~~~(7)$
სადაც $\tau$ ველების მეორე წამოებულით შედგენილი კომბინაციაა, რომელიც ერთდროულად ყალიბრულად ინვარიანტულია და შენახვის განტოლებაც ($\partial\tau = 0$) სრულდება. განვიხილოთ ზოგადი ასეთი ლაგრანჟიანი:
$L = \alpha \partial_{\mu} A_{\nu}\partial_{\mu}A_{\nu} + \beta \partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\nu}A_{\mu}. ~~~ (8)$
ყალიბრული პირობების მოთხოვნით ლაგრანჟიანი სტანდარტულ სახეს იღებს შესაბამისი კონსტანტების ფიქსირებით. ანუ

$L = \frac{1}{4} F_{\mu\nu}^2$,

სადაც

$F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$.

ყალიბრული პრინციპი და გრავიტაცია

(7) ტიპის განტოლება უნდა შევადგინოთ გრავიტაციისთვის და მოვითხოვოთ შენახვის პირობის შესრულება. თუ გავიხსენებთ, რომ გრავიტაციული ველის წყაროა ენერგია-იმპულსის ტენზორი, მაშინ განტოლების ზოგადი სახეი იქნება:
$T_{\mu\nu} = \kappa_{\mu\nu}. ~~~ (9)$
ასეთი სისტემისთვის შევადგინოთ $h_{\mu\nu}$ ველის ლაგრანჟიანი:
$L = a \partial_{\mu}h_{\mu\rho} \partial_{\mu}h_{\nu\rho} + b \partial_{\mu}h_{\nu\rho} \partial^{\nu}h_{\mu\rho} + c\partial_{\mu}h\partial_{\rho}h_{\mu\rho} + d \partial_{\mu}h\partial_{\mu}h. ~~~ (10)$
a, b, c და d მუდმივების ფიქსაციით (10) გადადის ლაგრანჟიანში რომელიც იძლევა (5) განტოლებას.

ასეთი ტიპის განტოლებები ხსნის ყველა ექსპერიმენტულ ფაქტს რასაც ფარდობითობის ზოგადი თეორია, გარდა მერკურის პერიჰელიუმის წანაცვლებისაა (იძლევა $25\%$ შეცდომას).

პაული-ფირცის გრავიტაციის მოდიფიკაციები

Bert Janssen [1] აღნიშნავს რომ გრავიტაცია საკუთარ თავთანაც ურთიერთქმედებს, ამიტომ უნდა დაიწეროს ზოგად ლაგრანჟიანში დამატებითი წევრი, რომელიც გაითვალიწინებს თვითქმედებას. ამითვის (10)-დან უნდა დაითვალოს გრავიტაციის ენერგია იმპულსის ტენზორი $T_{\mu\nu}^h$ და ლაგრანჟიანს დაემატოს წევრი $\frac{1}{2}\kappa h_{\mu\nu}T_{\mu\nu}^h$. ნაშრომში [1] აღნიშნავენ, რომ ასეთი დამატებით მერკურის პერიჰელიუმის პრეცესიის პრობლემის ამონახსნი ზუსტად ემთხვევა ექსპერიმენტის მონაცემებს.

რიგი კოსმოლოგიური პრობლემების გადასაწყვეტად Gia Dvali, Stefan Hofmann და Justin Khoury [2] განიხილავენ მასიურ პაული-ფირცის გრავიტაციას. ისინი $\kappa$ კონსტანატას განიხილავენ როგორც შკალის ფუნქციას $\kappa = \kappa(L^2)$. ამითი გაკვეული მანძილებზე ადგილი აქვს გრავიტაციული მაისნერის ეფექტი და ხდება დეგრავიტაცია.

დასკვნა

ამჟამად გრავიტაციის ყველაზე ადეკვატურ მოდელს ფარდობითობის ზოგადი თეორია წარმოადგენს, სხვა მოდელები კი რიგ ტესტებს ვერ გადიან. პაული-ფირცის გრავიტაციის მოდელი საინტერესო შემთვევაა, რადგან საკმაოდ ბევრ ექსპერიმენტებს ხსნის. შესაძლებელია ამ მოდელის ძირითადი პრინციპების გამოყენება და მცირე მოდიფიცირებით ახალ შედეგების მიღება.

წყარო:

[1] www.ugr.es/~bjans...
[2] http://journals.a....76.084006